એલિમેન્ટ્સ, સેટ બિલ્ડર નોટેશન, ઇનસ્કરટિંગ સમૂહો, વેન ડાયગ્રામ્સ
ઝાંખી સુયોજિત કરે છે
મેથેમેટિકલી રીતે સમૂહ સમૂહ અથવા વસ્તુઓની સૂચિ છે.
સમૂહો માત્ર નંબરો બનેલા નથી, પરંતુ જેમાં કંઈપણ સમાવી શકે છે:
- તમારા રેફ્રિજરેટરમાં ખોરાક;
- સૌર મંડળમાં ગ્રહો;
સેટ્સમાં કંઇપણ સમાવિષ્ટ હોઈ શકે છે, તેમ છતાં તે ઘણી વખત સંખ્યાઓનો સંદર્ભ આપે છે જે પેટર્નને અનુરૂપ હોય અથવા અમુક રીતે સંબંધિત હોય છે જેમ કે:
- હકારાત્મક સંખ્યામાં પણ 10 કરતા ઓછી નંબરોનો સમૂહ: (0, 2, 4, 6, 8);
- નંબર 12 માટે પરિબળોનો સમૂહ: (1, 2, 3, 4, 6, 12).
નોટેશન સેટ કરો
સમૂહમાંની વસ્તુઓને તત્વો કહેવામાં આવે છે અને નીચેના નોટેશન અથવા સંમેલનો સમૂહ સાથે વપરાય છે:
- સમૂહોને ઓળખવા માટે એક મોટા અક્ષરોનો ઉપયોગ થાય છે - જેમ કે જે, ઇ અથવા એફ ;
- સમૂહના તત્વો માટે લોઅરકેસ અક્ષરો અથવા સંખ્યાઓનો ઉપયોગ થાય છે;
- સર્પાકાર કૌંસ {} સમૂહમાં તત્વોની સૂચિ સૂચવે છે;
- સમૂહ તત્વોને અલગ કરવા માટે અલ્પવિરામનો ઉપયોગ થાય છે
તેથી, સેટ નોટેશનના ઉદાહરણો હશે:
J = {ગુરુ, શનિ, યુરેનસ, નેપ્ચ્યુન}
ઇ = {0, 2, 4, 6, 8};
એફ = {1, 2, 3, 4, 6, 12};
એલિમેન્ટ ઓર્ડર અને પુનરાવર્તન
સેટમાં એલિમેન્ટ્સ કોઈ ચોક્કસ ક્રમમાં હોતા નથી તેથી ઉપરના સેટ J તરીકે પણ લખી શકાય છે:
J = {શનિ, ગુરુ, નેપ્ચ્યુન, યુરેનસ}
અથવા
જે = {નેપ્ચ્યુન, ગુપ્ટર, યુરેનસ, શનિ}
પુનરાવર્તન તત્વો સમૂહને બદલી શકતું નથી, તેથી:
J = {ગુરુ, શનિ, યુરેનસ, નેપ્ચ્યુન}
અને
J = {ગુરુ, શનિ, યુરેનસ, નેપ્ચ્યુન, બૃહસ્પતિ, શનિ}
તે જ સમૂહ છે કારણ કે બન્નેમાં માત્ર ચાર જુદા જુદા તત્વો છે: ગુરુ, શનિ, યુરેનસ અને નેપ્ચ્યુન.
સમૂહો અને થેલીઓ
જો ત્યાં અનંત - અથવા અમર્યાદિત - સેટમાં તત્વોની સંખ્યા છે, તો એક ellipsis (...) એ બતાવવા માટે વપરાય છે કે સમૂહની પેટર્ન તે દિશામાં કાયમ માટે ચાલુ રહે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, કુદરતી સંખ્યાના સમૂહ શૂન્યથી શરૂ થાય છે, પરંતુ તેનો કોઈ અંત નથી, તેથી તે ફોર્મમાં લખી શકાય છે:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
સંખ્યાઓનો બીજો વિશિષ્ટ સમૂહ જે કોઈ અંત નથી, તે પૂર્ણાંકોનો સમૂહ છે. પૂર્ણાંકો પોઝિટિવ અથવા નકારાત્મક હોઈ શકે છે, તેમ છતાં, સમૂહ બંને દિશામાં ellipses નો ઉપયોગ કરે છે તે બતાવવા માટે કે સેટ બંને દિશાઓમાં કાયમ માટે ચાલે છે:
{ ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
અંડાકૃતિ માટેનો બીજો ઉપયોગ મોટા સમૂહના મધ્યમાં ભરવાનો છે:
{0, 2, 4, 6, 8, ..., 94, 96, 98, 100}
પલંગ દર્શાવે છે કે પેટર્ન - માત્ર સંખ્યાઓ - સમૂહના અલિખિત વિભાગ દ્વારા ચાલુ રહે છે.
ખાસ સમૂહો
વિશિષ્ટ સમૂહો જેનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે તે ચોક્કસ અક્ષરો અથવા પ્રતીકો દ્વારા ઓળખવામાં આવે છે. આમાં શામેલ છે:
- Ø અથવા {} - ખાલી સેટ - કોઈ તત્વો ધરાવતો સમૂહ ;
- યુ - સાર્વત્રિક સેટ - ચોક્કસ સમૂહ વ્યાખ્યાના સંબંધિત તમામ ઘટકો સમાવતી સમૂહ ;
- Z - બધા પૂર્ણાંકનો સમૂહ: Z = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... };
- N - કુદરતી સંખ્યાઓ (હકારાત્મક પૂર્ણાંકો): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }.
રોસ્ટર વિ. વર્ણનાત્મક પદ્ધતિઓ
આપણા સૂર્યમંડળમાં અંદરના અથવા પાર્થિવ ગ્રહોના સમૂહ જેવા સેટ્સના તત્વોને લખીને અથવા સૂચિબદ્ધ કરવું, તેને રોસ્ટર નોટેશન અથવા રોસ્ટર પદ્ધતિ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
ટી = {પારા, ચેતા, પૃથ્વી, મર્સ}
સમૂહના તત્વોને ઓળખવા માટેનો બીજો વિકલ્પ વર્ણનાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે , જે સમૂહને વર્ણવવા માટે ટૂંકા નિવેદન અથવા નામનો ઉપયોગ કરે છે જેમ કે:
ટી = {પાર્થિવ ગ્રહો}
સેટ-બિલ્ડર નોટેશન
રોસ્ટર અને વર્ણનાત્મક પધ્ધતિનો વિકલ્પ સમૂહ-નિર્માતા નોટેશનનો ઉપયોગ કરવાનો છે, જે નિયમનું વર્ણન કરતું લઘુલિપિ પદ્ધતિ છે જે સેટના ઘટકોને અનુસરે છે (નિયમ કે જે તેમને ચોક્કસ સેટના સભ્યો બનાવે છે) .
શૂન્ય કરતા વધારે કુદરતી સંખ્યાના સમૂહ માટે સેટ બિલ્ડર નોટેશન છે:
{x | x ∈ N, x > 0 }
અથવા
{x: x ∈ N, x > 0 }
સેટ-બિલ્ડર નોટેશનમાં, અક્ષર "x" એક વેરિયેબલ અથવા પ્લેસહોલ્ડર છે, જે અન્ય કોઇ અક્ષરથી બદલી શકાય છે.
શોર્ટહેન્ડ અક્ષરો
સેટ-બિલ્ડર નોટેશનમાં ઉપયોગમાં લેવાતા શાર્ટહેન્ડ અક્ષરોમાં શામેલ છે:
- ઊભી પટ્ટી અથવા કોલોન ( | અથવા : અક્ષરો) - અલગ-અલગ વાંચકો જેમ કે;
- લોઅરકેસ એપ્સીલોન ( ∈ પાત્ર) - એ એક તત્વ તરીકે વાંચવામાં આવે છે;
- ∉ પાત્ર - એ કોઈ તત્વ તરીકે નથી વાંચે છે.
તેથી, {x | x ∈ N, x > 0 } તરીકે વાંચવામાં આવશે:
"તમામ એક્સનો સમૂહ, જેમ કે x એ કુદરતી સંખ્યાના સમૂહનો એક તત્વ છે અને x 0 કરતા મોટો છે."
સમૂહો અને વેન ડાયગ્રામ્સ
વેન ડાયાગ્રામ - કેટલીકવાર સેટ ડાયાગ્રામ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે - વિવિધ સમૂહોના તત્વો વચ્ચે સંબંધ દર્શાવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાય છે.
ઉપરોક્ત છબીમાં, વેન આકૃતિના ઓવરલેપિંગ વિભાગમાં ઇ અને એફ (બંને સેટમાં સામાન્ય તત્વો) સેટ્સનો આંતરછેદ દર્શાવે છે.
નીચે તે ઓપરેશન માટે સેટ-બિલ્ડર નોટેશનમાં સૂચિબદ્ધ છે (ઊલટું "U" નો અર્થ છે આંતરછેદ):
ઇ ∩ એફ = {x | x ∈ E , x ∈ F}
લંબચોરસ સરહદ અને વેન આકૃતિના ખૂણામાં U ના અક્ષર આ ઓપરેશન માટે વિચારણા હેઠળના તમામ ઘટકોનો સાર્વત્રિક સમૂહ દર્શાવે છે:
યુ = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}